张朝阳的物理课 宇宙的和谐旋律 带你探索广义相对论中的线性引力波

引力波是广义相对论的一个重要预言，但要证明其存在并非易事。

1916年，爱因斯坦在给史瓦西的信中提出了引力的波动，类似于电磁波在电磁场中的传播。他认为引力波以光速传播，并在源处释放能量。

当时的数学处理并不完善，导致这些波的物理真实性受到质疑。特别是广义相对论具有坐标变换不变性，一些物理学家认为引力波可能只是坐标系的虚假现象，而非真实物理实体。

1922年，爱丁顿对引力波的存在性表示怀疑，认为它们可能没有实际的能量和动量。

时空的微扰度规

对时空做微扰展开，背景时空为平直闵可夫斯基度规：

g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}

其中，$\eta_{\mu\nu}$是平直闵可夫斯基度规，$h_{\mu\nu}$是微扰度规。

令小量$\epsilon$表示引力微扰的强度，则有：

h_{\mu\nu}=\epsilon\bar{h}_{\mu\nu}

其中，$\bar{h}_{\mu\nu}$是无量纲的微扰度规。

爱因斯坦方程的线性化

将微扰后的度规代入爱因斯坦方程，并进行线性化，得到：

\Box\bar{h}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\bar{h}=0

其中，$\Box$是达朗贝尔算符，即：

\Box=\eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}

这个方程就是引力微扰的波动方程，它描述了引力波在时空中的传播。