如何用微分几何证明斯托克斯定律 张朝阳的物理课 推导应力张量的粘滞阻力

在之前的直播课程中，我们使用微分几何的语言计算了斯托克斯力，并得到了斯托克斯力的形式。从微分几何的角度理解应力张量仍然是一个悬而未决的问题。本次直播课程将彻底解决这一疑惑。

非直角坐标系问题求解的便捷性

回顾上一节直播课程，我们讲解了使用微分几何的方法求解非直角坐标系问题的便捷性。通过引入基矢和度规的概念，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而大大简化了求解过程。

梯度项的数学内涵

应用微分几何理论，我们可以将梯度理解为一个对象沿特定方向的局部变化率。在球坐标系下，梯度的数学表述形式为：

∇Ψ = (∂Ψ/∂r)(r^)^ + (∂Ψ/∂θ)(θ^)^ + (1/r sinθ)(∂Ψ/∂φ)(φ^) 其中，Ψ表示任意对象，r、θ和φ为球坐标系中的径向距离、极角和方位角，(r)^、(θ)^和(φ)^分别表示单位基矢。

应力张量的第二项

在斯托克斯定律中，应力张量第二项的贡献可以通过微分几何推导得到。具体计算过程如下：

σ_ij dS_j = σ_i1 dr + σ_i2 r dθ + σ_i3 r sinθ dφ 其中，σ_ij为应力张量，dS_j为表面微分元素。

由于法向方向为径向方向，因此α=1，可得：

σ_1j dS_j = σ_11 dr + σ_12 r dθ + σ_13 r sinθ dφ

根据克氏符的定义，可得到：

{d(r^) / dφ} = - sinθ(θ^) - cosθ(φ^) {d(θ^) / dφ} = cosθ(r^) - sinθ(φ^) {d(φ^) / dφ} = 0

将这些关系代入并进行计算，得到：

σ_1j dS_j = (σ_11 - σ_22 sin^2θ - σ_33 cos^2θ) dr

在线下直播课程中，我们已经计算了面密度表达式，并在固体球面上沿着z轴方向积分，得到应力张量第二项的贡献：

F_2 = 4πa^3 (- 2ηu / 3)

应力张量的第三项

应力张量第三项的计算过程与第二项类似，需要计算梯度项：

∇_i u_j = (∂u_j / ∂r)(r^) + (∂u_j / ∂θ)(θ^) + (1/r sinθ)(∂u_j / ∂φ)(φ^) 其中，u_j为速度分量。

将梯度项代入应力张量第三项，并进行计算，得到：

(∂σ_ij / ∂x_k)u_k dV = (∂σ_ij / ∂r)u_r dV + (∂σ_ij / ∂θ)u_θ dV + (∂σ_ij / ∂φ)u_φ dV 其中，dV为体积元素。

在线下直播课程中，我们已经计算了面密度表达式，并在固体球体内积分，得到应力张量第三项的贡献：

F_3 = 4πa^3 (- ηu / a)

结论

通过使用微分几何的语言，我们深入理解了应力张量在斯托克斯定律中的作用。我们证明了应力张量可以被视为一个二阶张量，并阐明了梯度项和协变导数的数学内涵。这些概念对于理解流体力学和弹性力学等领域的复杂物理问题至关重要。