2023年10月27日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何用张量形式表达矢量微积分中的相关计算，再利用张量分析的方法从流体应力张量中导出了流体微元的受力。
纳维尔-斯托克斯方程及其与牛顿运动定律的关联
纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中的基本方程之一，描述了流体的运动情况。方程的内容如下：
ρ(∂u/∂t) +ρ(u⋅∇)u = -∇p + μ∇²u + (λ + μ)∇(∇⋅u)
- 其中，ρ是流体的密度。
- u是流体的速度。
- t是时间。
- p是流体的压强。
- μ是流体的动力粘度。
- λ是流体的体积粘度。
纳维尔-斯托克斯方程描述了流体的加速度（方程左端）与施加在流体上的力（方程右端）之间的关系。其中，方程右端的压强梯度项和粘滞项分别对应着牛顿第二定律中力和作用力的概念。
用张量语言简化流体力学中的矢量计算
传统的流体力学计算中，需要进行大量的矢量微积分运算，这些运算通常非常繁琐。而张量语言是一种更简洁、更有效的数学工具，可以大大简化这些计算。
在张量语言中，矢量被表示为一阶张量，二阶张量则由两个基底的张量积展开。利用张量语言，可以将矢量微积分中的点乘、叉乘、梯度、散度等运算统一表示为张量运算，从而简化计算过程。
例子：梯度的张量表示
在矢量微积分中，梯度是一个矢量，它的计算公式为：
∇p = (∂p/∂x)î + (∂p/∂y)ĵ + (∂p/∂z)k其中，p是标量函数，î、ĵ、k是x、y、z方向的单位矢量。利用张量语言，梯度可以表示为：
∇p = ∂p/∂x¹ dx¹ + ∂p/∂x² dx² + ∂p/∂x³ dx³其中，dx¹、dx²、dx³是x、y、z方向的微分算子。
例子：散度的张量表示
在矢量微积分中，散度是一个标量，它的计算公式为：
∇⋅u = (∂u¹/∂x¹) + (∂u²/∂x²) + (∂u³/∂x³)其中，u是矢量，x¹、x²、x³是x、y、z方向的坐标。利用张量语言，散度可以表示为：
∇⋅u = u¹;¹ + u²;² + u³;³其中，分号表示协变导数。
用张量语言推导纳维尔-斯托克斯方程
利用张量语言，可以从流体应力张量中推导出纳维尔-斯托克斯方程。具体推导步骤如下：
将流体应力张量表示为：
σ = -pδ + 2μe + (λ + μ)∇⋅uδ其中，p是压强，δ是单位张量，e是应变率张量，μ是动力粘度，λ是体积粘度。
接着，根据牛顿第二定律，流体微元的受力为：
F = ρ(∂u/∂t) + ρ(u⋅∇)u = -∇p + 2μ∇²u + (λ + μ)∇(∇⋅u)其中，ρ是流体的密度，u是流体的速度，t是时间，∇²是拉普拉斯算子。
最后，将流体应力张量代入牛顿第二定律，即可得到纳维尔-斯托克斯方程：
ρ(∂u/∂t) + ρ(u⋅∇)u = -∇p + μ∇²u + (λ + μ)∇(∇⋅u)总结
利用张量语言，可以大大简化流体力学中的矢量计算，并直观地理解纳维尔-斯托克斯方程的物理意义。张量语言在流体力学、电动力学等领域有着广泛的应用，是物理学和工程学中的重要工具。
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