张朝阳的物理课 宇宙共鸣 揭秘广义相对论下的线性引力波之声

广义相对论中的引力波

广义相对论预言了引力波的存在。引力波是时空弯曲效应的传播，以光速传播，从引力源处携带能量、动量和角动量。

引力波历史回顾

1. 1916年，爱因斯坦提出引力波的概念。
2. 1950年代，邦迪等物理学家确定了引力波携带能量。
3. 1962年，萨克斯和波多尔斯基提出了描述引力波的Sachs-Goldberg公式。
4. 1974年，霍尔斯和泰勒发现了脉冲双星系统PSRB1913+16，间接证明了引力波的存在，并获得1993年诺贝尔物理学奖。
5. 2015年，LIGO探测器探测到了首个引力波事件GW150914，验证了广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

弱场下的引力微扰波动方程推导

背景时空为平直时空

在弱场情形下，时空可被微扰展开，背景时空为平直时空。度规张量微扰为:

$$ g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} $$ 其中，$\eta_{\mu\nu}$是闵可夫斯基度规，$h_{\mu\nu}$是微扰度规张量，且$|\boldsymbol{h}| \ll 1$。

爱因斯坦方程的线性化

将微扰度规代入爱因斯坦方程，利用爱因斯坦求和规则，将方程线性化，得:

$$ \Box h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} \Box h = -16 \pi G T_{\mu\nu} $$ 其中，$\Box$是达朗贝尔算符，$T_{\mu\nu}$是物质-能量应力张量。

波动方程推导

对于真空中无物质存在，则$T_{\mu\nu} = 0$。将这个条件代入线性化的爱因斯坦方程，得:

$$ \Box h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} \Box h = 0 $$ 这就是引力微扰的波动方程。它表明引力波是时空弯曲的波，以光速传播。

总结

广义相对论预言了引力波的存在，经过一系列理论研究和观测验证，引力波的存在已得到确认。波动方程是描述引力微扰传播的基本方程，推导出了引力波以光速传播和携带能量、动量和角动量的性质。