深入透析纳维尔 解析其定义 历史演变和复杂性

纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中的基本方程，描述了流体的运动。它是一个偏微分方程组，很难解析求解。

张量语言的简化

张量是描述物理量的数学工具。用张量语言可以简化流体力学中的矢量计算，使其更易于理解和推导。

一阶和二阶张量

矢量可以表示为一阶张量，用基底写成逆变形式： $$ v^\alpha = (v^1, v^2, v^3) $$ 二阶张量需要用两个基底的张量积展开： $$ T^{\alpha\beta} = \left(\begin{array}{ccc} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\\ T^{21} & T^{22} & T^{23} \\\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{array} \right) $$

点乘和缩并

一阶矢量的点乘可以用一阶矢量的缩并表示： $$ v^\alpha w_\alpha = \sum_{i=1}^3 v^i w_i $$ 二阶张量和矢量的点乘也可以类似定义： $$ T^{\alpha\beta} w_\alpha = (T^{1\beta} w_1, T^{2\beta} w_2, T^{3\beta} w_3) $$

梯度、 散度和协变导数

矢量微积分中的梯度算符等效于张量语言中的流体应力张量推导出纳维尔-斯托克斯方程。该方程验证了牛顿第三定律在流体中的表达。

张朝阳的物理课第 228 期中，深入讲解了如何使用张量语言理解纳维尔-斯托克斯方程，并展示了张量语言在物理学中的广泛应用。