在 5 月 26 日和 6 月 2 日的 12 时,《张朝阳的物理课》第二百一十三和二百一十四期开播,搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间,在介绍了电磁场的波动方程之后,运用弱场下的平直时空微扰法,推导出了度规的微扰所需满足的波动方程。
引力波及其历史回顾
引力波的存在
引力波的存在是广义相对论的重要预言,但是想要证明其存在并不容易。历史上早在 1916 年爱因斯坦就曾在与史瓦西的信件中提出应该存在引力的波动,类似于电磁波在电磁场中的传播。爱因斯坦提出,引力波以光速传播,并且在源处释放能量。当时的数学处理并不完善,使得这些波的物理实在性受到质疑。
特别是广义相对论具有坐标变换不变的性质,一些物理学家认为引力波可能只是坐标系的虚假现象而非真实物理实体。爱丁顿在 1922 年对引力波的存在性表示怀疑,认为它们可能没有实际的能量和动量。
引力波数学基础的建立
尽管存在这些质疑,物理学家门仍继续研究广义相对论和引力波的数学基础。到 1950 年代,在赫尔曼·邦迪(Hermann Bondi)、费利克斯·皮拉尼(Felix Pirani)和伊凡·罗宾逊(Ivor Robinson)的努力下,确定了引力波携带能量。而邦迪在 1957 年通过 Bondinews 这一物理量,确切地描述了引力波如何从一个源中辐射出来,证明了引力波能够在没有坐标系依赖的情况下,携带出能量、动量和角动量。
雷纳·萨克斯(Rainer Sachs)与约瑟夫·波多尔斯基(Joseph Goldberg)在 1962 年的本文中,通过纽曼-彭罗斯形式形式(Newman-Penrose formal ism)提出了 Sachs-Goldberg 公式,进一步规范了描述引力波的方法。至此,人们已经确信了在广义相对论的框架中的确存在引力波,引力波是时空弯曲效应的传播,传播速度等于光速。
引力波的首次探测
在理论上确认引力波的存在性后,乔瑟夫·韦伯(Joseph Weber)设计并建造了韦伯棒用于探测引力波。虽然他在 1969 年和 1970 年报告了引力波探测的结果,但这些结果后来被认为是噪声干扰,未能得到独立验证。
1974 年,罗素·霍尔斯(Russell Hulse)和约瑟夫·泰勒(Joseph Taylor)发现了第一颗脉冲双星系统 PSRB1913+16。通过对双星系统的长期观测,仪来回反射,不仅极大地提高了激光的功率,也增大了有效的干涉距离,使得有效臂长达到 1600 千米。
LIGO 完成了升级成为 Advanced LIGO 后,大大提高了探测引力波的灵敏度,于 2015 年 9 月 14 日成功探测到首个引力波事件 GW150914,这是两个质量约为 36 倍和 29 倍太阳质量的黑洞合并所产生的引力波。这一事件验证了爱因斯坦的广义相对论,开启了引力波天文学的新时代。
引力微扰的波动方程
在广义相对论中,不涉及到具体观测某一个物理现象时,并不一定需要找一些简单的情形来说明物理规律。一方面是因为广义相对论中会遇到各种阶数的张量,通常具体去计算分量会很复杂,分量的计算往往不会简单的物理情形而简单。另一方面,假如能够熟练使用爱因斯坦求和规则,会使形式计算变得更加简单。
爱因斯坦方程在弱场情形下可以出现波动方程,张朝阳为我们展示了这一理论推导的过程。
时空的微扰度规
设度规的微扰为:
``` g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} ```其中 $\eta_{\mu\nu}$ 为闵可夫斯基度规,$h_{\mu\nu}$ 为微扰部分。
爱因斯坦方程为:
``` G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ```其中 $G_{\mu\nu}$ 为爱因斯坦张量,$T_{\mu\nu}$ 为能量动量张量,$G$ 为引力常数,$c$ 为光速。
在弱场情形下,爱因斯坦张量可以线性化:
``` G_{\mu\nu} \approx \partial_\alpha\partial_\beta h_{\mu\nu} - \partial_\alpha\partial_\mu h_{\beta\nu} - \partial_\alpha\partial_\nu h_{\mu\beta} + \partial_\mu\partial_\nu h_\alpha^\alpha ```能量动量张量也可以线性化:
``` T_{\mu\nu} \approx \frac{1}{c^2}\left(p_\mu u_\nu + p_\nu u_\mu - u_\mu u_\nu (\rho + p)\right) ```其中 $\rho$ 为流体密度,$p$ 为压力,$u_\mu$ 为流体四维速度。
代入到爱因斯坦方程,得到:
``` \partial_\alpha\partial_\beta h_{\mu\nu} - \partial_\alpha\partial_\mu h_{\beta\nu} - \partial_\alpha\partial_\nu h_{\mu\beta} + \partial_\mu\partial_\nu h_\alpha^\alpha = \frac{8\pi G}{c^4}\frac{1}{c^2}\left(p_\mu u_\nu + p_\nu u_\mu - u_\mu u_\nu (\rho + p)\right) ```在洛伦兹规范下,有:
``` \partial_\alpha h_\alpha^\mu = 0 ```代入上式,得到:
``` \partial_\alpha\partial_\beta h_{\mu\nu} - \partial_\alpha\partial_\mu h_{\beta\nu} - \partial_\alpha\partial_\nu h_{\mu\beta} = \frac{8\pi G}{c^4}\frac{1}{c^2}\left(p_\mu u_\nu + p_\nuu_\mu - u_\mu u_\nu (\rho + p)\right) ```注意,我们已经忽略了更高阶的项,因此这是一个近似方程。
对于真空情况,能量动量张量为零,则得到:
``` \partial_\alpha\partial_\beta h_{\mu\nu} - \partial_\alpha\
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