回顾微分几何求解非直角坐标系问题
在之前的两节课中，我们用微分几何的语言计算了
斯托克斯力，并得到了斯托克斯力的形式。但在整个过程中，我们留有一个悬念，即从微分几何理解
应力张量。本次讲座将彻底解决这一
疑惑。
微分几何的方式求解非直角坐标系问题非常方便。我们用球坐标系来做一个例子。在球坐标系下，
单位基矢表示为：
e_r = (sin(theta)cos(phi)) i + (sin(theta)sin(phi)) j + (cos(theta)) k
e_theta = (cos(theta)cos(phi)) i + (cos(theta)sin(phi)) j +(-sin(theta)) k
e_phi = (-sin(phi)) i + (cos(phi)) j + 0 k
对这些单位基矢求偏导的结果可以用空间几何的方式求出，其结果为：
\nabla e_r = \frac{1}{r}
\nabla e_theta = -\frac{1}{r}sin(theta) e_r + \frac{1}{r}cos(theta) e_theta
\nabla e_phi = -\frac{1}{r}sin(theta) e_theta - \frac{1}{r}cos(theta) e_phi
坐标基矢表示为：
e^r = dr
e^theta = r dtheta
e^phi = r sin(theta) dphi
但这三个在球坐标系下不是正交归一的。具体为：
e^r . e_r = 1
e^theta . e_theta = r^2
e^phi . e_phi = r^2{\partial v_j}{\partial x^i} g^{im} e_m
最后一项中出现了一个下基矢的导数，我们知道这个肯定是下基矢的线性
组合：
\nabla_i e_j = \sum_{k=1}^3 \Gamma_{ijk} e_k
这里我们用到了微分几何中对克氏符的理解：下基矢的导数在上基矢上的投影。因此有：
\Gamma_{i1j} = \frac{\partial e_j}{\partial x^i} \cdot e_1
= \frac{\partial e_j}{\partial x^i} \cdot (dl^1 e_1 + dl^2 e_2 + dl^3 e_3)
再将哑
指标的
字母替换一下，得到：
\Gamma_{1ij} = \frac{\partial e_j}{\partial x^i} \cdot e_1
至此我们完全证明了前面的说法：σ是二阶张量，且前面的导数算符理解为微分几何中的协变导数，用度规升上去的结果。类似于速度矢量的协变导数可称为(1,1)型张量，而σ可称为(2,0)型张量。
应力张量第二项的贡献
之前的
直播课，我们已经求出应力张量所贡献的力，即斯托克斯定律。我们从张量重新看待这个问题。固体球受到的力面密度为：
f_i = \int_S σ_jn_j n_i dS
那么第二项按照上述的理解，可以写为：
f_2 = \int_S (η + 2μ) ( \nabla . v ) E_2 dS
由于法向方向就是径向：
α=1
即有：
f_2 = \int_S (η + 2μ) ( \nabla . v ) e_2 \cdot e_2 dS
在下面的运算中我们需要用到以下关系：
当β=1时，有：
g_1β = 1
e_β = e_r= (sin(theta)cos(phi)) i + (sin(theta
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