张朝阳的物理课 揭秘广义相对论下的线性引力波 倾听宇宙的声音

引力波的历史回顾

引力波的存在是广义相对论的重要预言，但证明其存在并不容易。

1916 年，爱因斯坦在与史瓦西的信件中提出，引力可能存在波动，类似于电磁场中的电磁波传播。他认为，引力波以光速传播，并在源头释放能量。当时的数学处理并不完善，使得这些波的物理实在性受到质疑。

爱丁顿在 1922 年对引力波的存在表示怀疑，认为它们可能没有实际的能量和动量。

尽管如此，物理学家们仍在继续研究广义相对论和引力波的数学基础。到 1950 年代，在邦迪、皮拉尼和罗宾逊的努力下，确定了引力波携带能量。

1957 年，邦迪通过 Bondinews 物理量，描述了引力波如何从源中辐射出来，证明了引力波能够在没有坐标系依赖的情况下，携带能量、动量和角动量。

萨克斯和波多尔斯基在 1962 年的本文中，提出了 Sachs-Goldberg 公式，进一步规范了描述引力波的方法，使得人们确信广义相对论中存在引力波，它们是时空弯曲效应的传播，传播速度等于光速。

引力波的探测

理论上确认引力波的存在后，韦伯设计并建造了韦伯棒用于探测引力波。他于 1969 年和 1970 年报告了引力波探测的结果，但后来被认为是噪声干扰。

1974 年，霍尔斯和泰勒发现了第一颗脉冲双星系统 PSRB1913+16。通过对双星系统的观测，他们发现其轨道半长轴衰减与广义相对论预言的引力波耗散一致，间接证明了引力波的存在，两人因此在 1993 年获得诺贝尔物理学奖。

1990 年代，激光干涉引力波天文台 (LIGO) 项目启动，并于 2002 年开始运行。LIGO 探测器使用迈克尔孙干涉仪原理，对光进行反射，大大提高了激光功率和有效干涉距离。

经过升级，LIGO 探测器于 2015 年 9 月探测到了首个引力波事件 GW150914，这是两个黑洞合并所产生的引力波。这一事件验证了广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

时空微扰

在广义相对论的弱场近似下，可以对时空进行微扰展开，背景时空为平直时空。

时空的微扰度规为：

``` g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} ```

其中，$\eta_{\mu\nu}$ 是平直时空的度规，$h_{\mu\nu}$ 是微扰。

波动方程的推导

张朝阳在《张朝阳的物理课》中，运用弱场下的平直时空微扰法，推导出了度规微扰所需满足的波动方程。

爱因斯坦方程的弱场近似形式为：

``` R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} ```

其中，$R_{\mu\nu}$ 是黎曼曲率张量，$R$ 是里奇标量，$T_{\mu\nu}$ 是应力-能量张量。

将微扰代入爱因斯坦方程，并线性化，得到：

``` \Box h_{\mu\nu} = - \frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} ```

其中，$\Box = g^{\alpha\beta}\nabla_\alpha\nabla_\beta$ 是达朗贝尔算子。

这就是引力微扰的波动方程，它表明引力波以光速传播，并在源头释放能量。