如何表明广义相对论存在引力波？
广义相对论预言了引力波的存在，这是时空弯曲效应的传播，传播速度等于光速。根据广义相对论，引力波携带能量和动量，并从引力源（如黑洞
合并或中子星碰撞）辐射出来。
引力波的存在证明
爱因斯坦在1916年首次提出引力波的存在，但直到20世纪后半叶才得到证实。以下是一些关键的
步骤：
- 1950年代：赫尔曼·邦迪等
科学家确定了引力波携带能量。
- 1962年：雷纳·萨
克斯和约瑟夫·波多尔斯基提出Sachs-Goldberg公式，进一步规范了描述引力波的方法。
- 1974年：罗素·霍尔斯和约瑟夫·泰勒发现了第一颗
脉冲双星系统，并通过观测证明了引力波耗散的存在，间接证实了引力波。
- 2015年：激光干涉引力波
天文台（LIGO）
探测到首个引力波事件GW150914，这是两个黑洞合并产生的引力波，从而直接验证了广义相对论对引力波的预言。
如何
推导引力微扰的波动方程？
在广义相对论的弱场极限下，即时空弯曲较小的情况下，可以利用平直时空微扰法推导出引力微扰的波动方程。以下是具体步骤：
时空的微扰度规
对时空度规进行微扰，即在平直时空度规$g_{\mu\nu}$上叠加一个小量扰动$h_{\mu\nu}$：
$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$
其中$\eta_{\mu\nu}$是平直时空度规，$h_{\mu\nu}$是微扰度规。
爱因斯坦方程的弱场展开
将微扰度规代入爱因斯坦方程，并忽略高阶项，可以得到爱因斯坦方程的弱场展开：
$$h_{\mu\nu}^{\prime\prime} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h^{\alpha\beta\prime\prime}_\alpha{}^\beta + \eta_{\mu\nu} \nabla^\alpha \nabla_\alpha h - 2 \nabla^\alpha \nabla_{(\mu} h_{\nu)\alpha} = -16\pi G T_{\mu\nu}$$
其中：
- $h_{\mu\nu}^{\prime\prime}$表示$h_{\mu\nu}$对$x^\alpha$的二阶偏导数。
- $T_{\mu\nu}$是物质能动量
张量。
- $G$是万有引力常数。
波动方程的推导
对弱场展开的爱因斯坦方程取迹，可以得到如下方程：
$$\frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h^{\alpha\beta\prime\prime}_\alpha{}^\beta - \nabla^\alpha \nabla_\alpha h + \eta_{\mu\nu} \nabla^\alpha \nabla_\alpha h - 2 \nabla^\alpha \nabla_{(\mu} h_{\nu)\alpha} = -16\pi G T$$
其中$T = T_{\mu\nu} \eta^{\mu\nu}$是物质能动量张量的迹。
再将上面方程中的第一项代入，可以得到：
$$h^{\prime\prime\prime} - \eta_{\mu\nu} \nabla^\alpha \nabla_\alpha h + \eta_{\mu\nu} \nabla^\alpha \nabla_\alpha h - 2 \nabla^\alpha \nabla_{(\mu} h_{\nu)\alpha} = -16\pi G T$$
由于$\eta_{\mu\nu} \nabla^\alpha \nabla_\alpha h = \nabla^\alpha \nabla_\alpha h$，可以进一步化简为：
$$h^{\prime\prime\prime} - 2 \nabla^\alpha \nabla_{(\mu} h_{\nu)\alpha} = -16\pi G T$$
这就是引力微扰的波动方程。它表明，引力微扰在时空中以光速传播，并受到物质能动量张量的源项的影响。
发表评论