张朝阳的物理课 通过微分几何推导斯托克斯定律以及 中粘滞阻力应力张量的推导

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在《张朝阳的物理课》的第227期直播课程中，张朝阳博士回顾了利用微分几何求解非直角坐标系问题的便利性，并且说明了梯度项的数学内涵。

应力张量概述

斯托克斯定律描述了固体小球在流体中运动所受到的粘滞力，其中应力张量是关键。应力张量表示为： T = g[∇u + (∇u)^T] - pI 其中： g 是度规 u 是速度矢量 p 是压力 I 是单位张量

梯度项的数学表述

梯度是一个二阶张量，在微分几何中表示为： ∇u = u_{i,j}dx^j \otimes du^i 其中： u_i 是速度矢量在基矢 e_i 方向的分量 dx^j 是微分形式在基矢 e_j 方向的分量 du^i 是对偶空间的微分形式在基矢 e^i 方向的分量 ⊗ 表示张量积

应力张量第二项的贡献

应力张量的第二项对斯托克斯定律的贡献可以表示为： [∇u]^T = u_{i,j} dx^j \otimes du^i 其中： i, j 是下标，分别取值 1, 2, 3 对于一个球坐标系，法向矢量为径向矢量 e_1，因此 α = 1。使用微分几何中的克氏符，我们可以得到： [∇u]^T = u_{i,1} dx^1 \otimes du^i 进一步计算后，得到： e_1 · [∇u]^T · e_1 = u_{1,1} dx^1 \otimes e_1

应力张量第三项的贡献

应力张量的第三项对斯托克斯定律的贡献可以表示为： -pI = -p dx^i \otimes dx^i 使用球坐标系，得到： -pI = -p dx^1 \otimes dx^1 最终，将应力张量的第二项和第三项的贡献代入斯托克斯定律，得到球坐标系下的斯托克斯定律表达式。

总结

通过微分几何的语言，我们可以深入理解应力张量，以及它在斯托克斯定律中的作用。这为流体力学的研究提供了有力的数学工具。