张朝阳的物理课探索广义相对论下的宇宙之声——线性引力波

科技资讯 2025-01-06 08:49:22 浏览次

引力波的存在性

引力波是广义相对论的重要预言，预言时空的弯曲效应可以像电磁波在电磁场中的传播一样以光速传播。证明引力波的存在并非易事。

早在1916年，爱因斯坦便在给史瓦西的信中提出应存在引力的波动。他认为引力波以光速传播，并在源处释放能量。当时的数学处理并不完善，使得这些波的物理实在性受到质疑。一些物理学家认为引力波可能只是坐标系的虚假现象而非真实物理实体。

1950 年代，赫尔曼·邦迪、费利克斯·皮拉尼和伊凡·罗宾逊等人

1974 年，罗素·霍尔斯和约瑟夫·泰勒发现了第一颗脉冲双星系统 PSRB1913+16。通过对双星系统的长期观测，Hulse 和 Taylor 发现这个系统的轨道半长轴衰减与广义相对论预言的引力波耗散一致。这一发现间接证明引力波的存在。两人也因此在 1993 年获得诺贝尔物理学奖。

到了 1990 年代，激光干涉引力波天文台 (LIGO) 项目启动，并于 2002 年开始运行。两个分别位于美国的 Hanford 和 Livingston 的 LIGO 探测器使用迈克尔孙干涉仪的原理运行，每一个臂长约为 4 千米，光在其中通过法布里波罗腔干涉仪来回反射，不仅极大地提高了激光的功率，也增大了有效的干涉距离，使得有效臂长达到 1600 千米。

LIGO 完成升级成为 AdvancedLIGO 后，大大提高了探测引力波的灵敏度，于 2015 年 9 月 14 日成功探测到首个引力波事件 GW150914，这是两个质量约为 36 倍和 29 倍太阳质量的黑洞合并所产生的引力波。这一事件验证了爱因斯坦的广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

在广义相对论中，不涉及到具体观测某一个物理现象时，并不一定需要找一些简单的情形来说明物理规律。一方面是因为广义相对论中会遇到各种阶数的张量，通常具体去计算分量会很复杂，分量的计算往往不会简单的物理情形而简单。另一方面，假如能够熟练使用爱因斯坦求和规则，会使形式计算变得更加简单。

爱因斯坦方程在弱场情形下可以出现波动方程，以下是对这一理论推导过程的展示。时空的微扰度规

对时空做微扰展开，背景时空为平直：

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} +h_{\mu\nu}

其中 $\eta_{\mu\nu}$ 为平直时空度规，$h_{\mu\nu}$ 为微扰项。

爱因斯坦方程的微扰展开

将微扰度规代入爱因斯坦方程，取到线性级：

\Box h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} \partial^\rho \partial_\rho h + \partial_\mu \partial_\nu h - \partial^\rho \partial_{(\mu} h_{\nu)\rho} = 0

其中 $\Box$ 为达朗贝尔算符。

波动方程的推导

利用黎曼曲率张量的性质，可以得到：

\Box h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \Box h = 0

这是引力微扰的波动方程，表明引力波以光速在时空传播。